SCOI2010 股票交易

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SCOI2010 股票交易

题目描述

最近lxhgww又迷上了投资股票，通过一段时间的观察和学习，他总结出了股票行情的一些规律。

通过一段时间的观察，lxhgww预测到了未来T天内某只股票的走势，第i天的股票买入价为每股$APi$，第i天的股票卖出价为每股BPi（数据保证对于每个$i$，都有$AP$i>=$BPi$），但是每天不能无限制地交易，于是股票交易所规定第i天的一次买入至多只能购买$ASi$股，一次卖出至多只能卖出$BSi$股。

另外，股票交易所还制定了两个规定。为了避免大家疯狂交易，股票交易所规定在两次交易（某一天的买入或者卖出均算是一次交易）之间，至少要间隔W天，也就是说如果在第i天发生了交易，那么从第$i+1$天到第$i+W$天，均不能发生交易。同时，为了避免垄断，股票交易所还规定在任何时间，一个人的手里的股票数不能超过$MaxP$。

在第1天之前，lxhgww手里有一大笔钱（可以认为钱的数目无限），但是没有任何股票，当然，$T$天以后，lxhgww想要赚到最多的钱，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入输出格式

输入格式：

输入数据第一行包括3个整数，分别是$T$，$MaxP$，$W$。

接下来$T$行，第i行代表第i-1天的股票走势，每行4个整数，分别表示$APi$，$BPi$，$ASi$，$BSi$。

输出格式：

输出数据为一行，包括1个数字，表示lxhgww能赚到的最多的钱数。

输入输出样例

输入样例#1：

5 2 0
2 1 1 1
2 1 1 1
3 2 1 1
4 3 1 1
5 4 1 1

输出样例#1：

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说明

对于30%的数据，0<=W<T<=50,1<=MaxP<=50

对于50%的数据，0<=W<T<=2000,1<=MaxP<=50

对于100%的数据，0<=W<T<=2000,1<=MaxP<=2000

对于所有的数据，1<=BPi<=APi<=1000,1<=ASi,BSi<=MaxP

思路

首先看到这道题，明显是一个DP解决最优化问题。

定义状态

$f[i][j]$表示第$i$天手中有$j$张股票的最大收益

$O(t^2maxp)$

这种算法应该比较好想，写出状态转移方程即可，注意控制一下转移状态的范围即可。

状态转移方程：

$f[i][j]=max(f[i-w-1][k]+(k-j)*(x[i]))$

$其中 max(j-as[i],0)<=k≤j$

$x=ap[i];$

$j≤k<min(j+bs[i],maxp)$

$x=bp[i]$

code

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#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=2009,M=2009;
int t,maxp,w,ap[N],bp[N],as[N],bs[N],f[N][M];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&t,&maxp,&w);
    for(int i=1;i<=t;i++)
        scanf("%d%d%d%d",&ap[i],&bp[i],&as[i],&bs[i]);
    memset(f,-0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        for(int j=0;j<=as[i];j++)
            f[i][j]=-ap[i]*j;
        for(int j=0;j<=maxp;j++)
        {
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
            if(i-w-1>=0)
                for(int k=max(j-as[i],0);k<=j;k++)
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][k]+(k-j)*ap[i]);
            if(i-w-1>=0)
                for(int k=j;k<=min(j+bs[i],maxp);k++)
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][k]+(k-j)*bp[i]);
        }
    }
    printf("%d",f[n][0]);
}

那么这个算法只有70分，应该如何优化呢？

$O(t*maxp)$

这里用到了单调队列优化。

既然要用单调队列又化，就必须证明此问题的决策具有单调性。

由于证明比较麻烦，打决策表观察可得知。

代码如下

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 2017;
int t,maxp,w,head,tail,ap[N],bp[N],as[N],bs[N],f[N][N],q[2*N];
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&t,&maxp,&w);
    for(int i=1;i<=t;++i)scanf("%d%d%d%d",ap+i,bp+i,as+i,bs+i);
    memset(f,-0x3f,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=t;++i)
    {
        for(int j=0;j<=as[i];++j)    f[i][j]=-ap[i]*j;
        for(int j=0;j<=maxp;++j)    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]);
        if(i-w-1>=0)
        {
            head=1,tail=0;
            for(int j=0;j<=maxp;++j)
            {
                while(head<=tail&&q[head]<max(0,j-as[i]))head++;
                if(head<=tail)
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][q[head]]-(j-q[head])*ap[i]);
                while(head<=tail&&f[i-w-1][j]+j*ap[i]>=f[i-w-1][q[tail]]+q[tail]*ap[i])
                tail--;
                q[++tail]=j;
            }
            head=1,tail=0;
            for(int j=maxp;j>=0;--j) 
            {
                while(head<=tail&&q[head]>min(maxp,j+bs[i]))head++;
                if(head<=tail)
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-w-1][q[head]]+(q[head]-j)*bp[i]);
                while(head<=tail&&f[i-w-1][j]+j*bp[i]>=f[i-w-1][q[tail]]+q[tail]*bp[i])
                tail--;
                q[++tail]=j;
            }
        }
    }
    printf("%d",f[t][0]);
}